Cevap: $\boxed{A}$
$a,b\in\mathbb{Z}$ olmak üzere $x+3y=a$ ve $3x+y=b$ diyelim. Genelliği bozmadan $y\geq x$ dersek, $a\geq b$ olur. Eğer bu lineer denklem sistemini $x$ ve $y$ için çözersek, $x=\frac{3b-a}{8}$ ve $y=\frac{3a-b}{8}$ olur. $0<x,y<1$ olduğunu kullanırsak, $$0<3b-a<8 \text{ ve } 0<3a-b<8$$ bulunur. Tek satırda yazmak istersek $$0<3b-a\leq 3a-b<8$$ diyebiliriz. $b$ tamsayısı üzerinden sınırlama yapalım. $$\max\left\{\frac{a}{3},3a-8\right\}<b\leq a$$ Eğer $\frac{a}{3}\geq 3a-8$ yani $3\geq a$ ise $$\frac{a}{3}<b\leq a$$ olduğundan $(a,b)=(3,3),(3,2),(2,2),(2,1)$ olabilir.
Eğer $\frac{a}{3}<3a-8$ ise $3<a$ olur ve $$3a-8<b\leq a\implies 3a-8<a\implies a<4$$ çelişkisi elde edilir. Sonuç olarak buradan çözüm gelmez. $4$ adet $(a,b)$ ikilisi ve bunlara karşılık gelen $4$ tane $y\geq x$ koşulu altında çözüm vardır. $x<y$'den de $3$ çözüm gelecektir ($1$ tane çözüm $x=y$ içindir). Dolayısıyla toplamda $7$ çözüm vardır.
