2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20

[matematikolimpiyati]

Kenar uzunlukları$,\ |AB|=43,\ |BC|=46,\ |AC|=49$ olan $ABC$ üçgeninde$,\ \widehat{A}$ açısının açıortayı $CB$'yi  $L$ noktasında$,\ \widehat{B}$ açısının açıortayı da $AC$'yi  $K$ noktasında kesiyor. $KB$ üzerinde $CM \perp KB$  olacak şekildeki $M$ noktası ve $AL$ üzerinde $CN \perp AL$  olacak şekildeki $N$ noktası için $|MN|$ uzunluğu kaçtır?

$\textbf{a)}\ 24  \qquad\textbf{b)}\ 25  \qquad\textbf{c)}\ 26  \qquad\textbf{d)}\ 27  \qquad\textbf{e)}\ 28$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{C}$

$CM\cap AB=D$ ve $CN\cap AB=E$ olsun. $MN$, $CDE$ üçgeninde orta tabandır. Buradan $|MN|=\frac{|DE|}{2}$ olur. $BCD$ üçgeninde açıortay aynı zamanda yükseklik olduğundan bu üçgen ikizkenardır ve $|AD|=3$ bulunur. Benzer şekilde $|BE|=6$ bulunur ve $|DE|=52$ olur. Cevabın $26$ olduğu anlaşılır.