Cevap: $\boxed{D}$
Her tarafın karesini alırsak, $(3-2\sqrt{2})^{12}=2x+1-2\sqrt{x^2+x}$ elde edilir. Dolayısıyla $(3-2\sqrt{2})^{12}$'deki sabit terimi bulmamız yeterlidir. $(3-2\sqrt{2})^n=a_n-b_n\sqrt{2}$ olsun. $$a_{n+1}-b_{n+1}\sqrt{2}=(a_n-b_n\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=(3a_n+4b_n)-(2a_n+3b_n)\sqrt{2}$$ bulunur. Yani $(a_{n+1},b_{n+1})=(3a_n+4b_n,2a_n+3b_n)$'dir. Ayrıca $a_{2n}-b_{2n}\sqrt{2}=(a_n-b_n\sqrt{2})^2=(a_n^2+2b_n^2)-2a_nb_n\sqrt{2}$ olduğundan $(a_{2n},b_{2n})=(a_n^2+2b_n^2,2a_nb_n)$'dir. Bize mod $9$'daki değerleri gerektiğinden, $(a_n)$ ve $(b_n)$ dizilerini mod $9$'da incelemek yeterlidir. $(a_1,b_1)=(3,2)$'dir. $$(a_2,b_2)\equiv (-1,3)\implies (a_3,b_3)\equiv (0,-2)\implies (a_6,b_6)\equiv (-1,0)\implies (a_{12},b_{12})\equiv (1,0)$$ bulunur. Buradaki denklikler $9$ modundadır. Sonuç olarak $(3-2\sqrt{2})^{12}$'nin sabit teriminin $9$'a bölümünden kalan $1$'dir. Buradan da $$2x+1\equiv 1\pmod{9}\implies x\equiv 0\pmod{9}$$ bulunur.
