2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 16

[matematikolimpiyati]

$a_1=6$ ve her $n \geq 1$ için $a_{n+1}-2=a_n(2a_n+5)$ olsun. Buna göre$,$

                                      $S=\dfrac{1}{2a_1+3} + \dfrac{1}{2a_2+3} + \dfrac{1}{2a_3+3} + \cdots$

toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{12}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{16}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{18}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{10}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{14}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$b_n=2a_n+3$ olsun. Bu durumda $b_1=15$ ve $b_{n+1}=b_n^2-b_n+1$ elde edilir. Bizden istenilen toplam ise $S=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{b_{k}}$'dir. $$\frac{1}{b_k(b_k-1)}=\frac{1}{b_{k+1}-1}\implies \frac{1}{b_k-1}-\frac{1}{b_{k+1}-1}=\frac{1}{b_{k}}$$ olduğundan $$S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{b_k}=\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{1}{b_k-1}-\frac{1}{b_{k+1}-1}\right]=\frac{1}{b_1-1}-\frac{1}{b_{n+1}-1}=\frac{1}{14}-\frac{1}{b_{n+1}-1}$$ elde edilir. $n\to \infty$ iken $b_n\to \infty$ olduğu kolaylıkla görülebilir. Dolayısıyla, $S=\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{14}$ bulunur.

Not: Bu soru, mantık olarak 2017 Antalya 20. soruya çok benzemektedir.