2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 15

[matematikolimpiyati]

$[0,50]$ aralığından alınmış $x,y,z$ tam sayılarından oluşturulan kaç farklı $(x,y,z)$ üçlüsü için

                               $(y+z)^2-(x+y)^2 = (y-z)^2 - (x-y)^2$

eşitliği sağlanır?

$\textbf{a)}\ 50 \cdot 100  \qquad\textbf{b)}\ 50 \cdot 101  \qquad\textbf{c)}\ 51 \cdot 101  \qquad\textbf{d)}\ 51 \cdot 100  \qquad\textbf{e)}\ 51^2$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Eşitlikteki ifadeleri açalım, $$(y+z)^2-(x+y)^2=y^2+z^2+2yz-x^2-y^2-2xy=z^2-x^2+2yz-2xy$$ $$(y-z)^2-(x-y)^2=y^2+z^2-2yz-x^2-y^2+2xy=z^2-x^2-2yz+2xy$$ Yani bizden istenilen eşitlik $$2yz-2xy=2xy-2yz\iff xy-yz=y(x-z)=0$$ olur.

$y=0$ ise $x$ ve $z$ serbest seçilebileceğinden $51^2$ tane üçlü elde edilir.

$y\neq 0$ ise $x=z$ olmak zorundadır. $x$'i $51$ şekilde, $y$'i ise $50$ şekilde seçebileceğimizden $51\cdot 50$ üçlü elde edilir.

Toplamda $51^2+51\cdot 50=51\cdot 101$ üçlü bulunur.