Cevap: $\boxed{C}$
Herhangi bir $n\geq 1$ sayısını $p_i$, $i.$ asal olmak üzere, $a_i\geq 0$ tamsayıları için $$n=\prod_{i=1}^{\infty} p_i^{a_i}$$ olarak yazabiliriz. Bu yazımda pozitif bölenlerin sayısının formülünün değişmediğini yani $v(n)=\prod\limits_{i=1}^{\infty}(a_i+1)$ olduğunu görebiliriz. Sonsuz tane $1$'i çarpmak limitten dolayı belirsiz olarak düşünülebilir ama sayılabilir çoklukta sayı çarptığımızdan sorun olmayacaktır (limitte $1^{\infty}$ belirsizdir). Şimdi soruya geçersek, $p_1=2$ ve $p_3=5$ olduğundan $$\frac{8}{5}n=p_1^{a_1+3}p_2^{a_2}p_3^{a_3-1}p_4^{a_4}\cdots$$ $$v\left(\frac{8}{5}n\right)=(a_1+4)(a_2+1)a_3(a_4+1)\cdots$$ olur. Verilen bilgiden $$v\left(\frac{8}{5}n\right)=\frac{8}{5}v(n)\implies (a_1+4)a_3=\frac{8}{5}(a_1+1)(a_3+1)$$ $$\implies 5a_1a_3+20a_3=8a_1a_3+8a_1+8a_3+8$$ $$\implies 3a_1a_3+8a_1-12a_3+8=0$$ Bu ifadeyi çarpım olarak yazmaya çalışırsak, $$a_1(3a_3+8)-4(3a_3+8)+40=0\implies (4-a_1)(3a_3+8)=40$$ elde edilir. $\frac{8}{5}n$ bir tamsayı olduğundan $a_3\geq 1$ ve $3a_3+8\geq 11$ olur. Yani $3a_3+8=20,40$ olabilir. Buradan tek çözüm $a_3=4$ bulunur. Bu değer için de $a_1=2$ bulunur. Yani $m$ en fazla (hatta sadece) $4$ olabilir.
Not: Bu şartı sağlayan tüm $n$'ler ise $(k,10)=1$ tamsayısı için $n=2^2\cdot 5^4k=2500k$ formatındadır.
