2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13

[matematikolimpiyati]

Yazı tahtasında yan yana $11$ pozitif sayı yazılmıştır. Bu sayılar içinde yan yana yazılmış herhangi $(x,y,z)$ üçlüsü alınırsa$,\ y=\dfrac{2xz}{x+z}$ eşitliği sağlanır. İlk sayı $\dfrac{1}{13}$ ve son sayı $\dfrac{1}{31}$ ise $6$'ncı sayı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{15}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{18}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{21}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{22}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{27}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Her $x$ sayısının altına $\frac{1}{x}$ sayısını da yazalım. Böylece yeni dizide yan yana alınan herhangi bir $(x,y,z)$ üçlüsü için $$\frac{1}{y}=\frac{\frac{2}{xz}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}=\frac{2}{x+z}\implies x+z=2y\implies x-y=y-z$$ elde edilir. Bu da yeni dizinin aritmetik dizi olduğunu gösterir. Ortak farka $d$ dersek, ilk terim $a_1=13$ ve son terim $a_{11}=a_1+10d=31$'den $d=\frac{9}{5}$ elde edilir. $$a_6=a_1+5d=13+9=22$$ olduğundan ana dizideki $6.$ terim de $\frac{1}{22}$'dir.