Cevap: $\boxed{E}$
Çekirgenin $(a,b)$ noktasından zıplayışında gidebileceği yerler $(a,b)$ merkezli, $5$ br yarıçaplı çemberin üzerindeki tamsayı koordinatlı yerlerdir. $(0,0),(a_1,b_1),(a_2,b_2),\dots, (a_n,b_n),(1,0)$ ile çekirgenin $(0,0)$'dan $(1,0)$'a ulaştığı yolu gösterelim. $(1,0)$ noktasına ulaşması için daha önceden olması gerektiği $(a_n,b_n)$ noktası da yine $(1,0)$ merkezli $5$ br yarıçaplı çember üzerinde olacaktır. Yani $$(a_n-1)^2+b_n^2=25$$ olmalıdır. Diğerleri için de böyle gidersek, $$(a_{n-1}-a_n)^2+(b_{n-1}-b_n)^2=25$$ $$(a_{n-2}-a_{n-1})^2+(b_{n-2}-b_{n-1})^2=25$$ $$\vdots$$ $$(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2=25$$ $$a_1^2+b_1^2=25$$ elde ederiz. Öncelikle $x^2+y^2=25$ denklemin tamsayılardaki çözümlerinin sadece $(0,5),(3,4)$ ve negatifleri, permütasyonları olduğunu not alalım. Eğer $2$ zıplama ile ulaşabilseydik elimizdeki denklemler, $$a_1^2+b_1^2=25$$ $$(a_1-1)^2+b_1^2=25$$ olurdu, yani $a_1^2=(a_1-1)^2$'den $a_1=\frac{1}{2}$ olurdu ki bu bir çelişkidir.
Şimdi $3$ zıplama için deneyelim. Elimizdeki denklemler $$(a_2-1)^2+b_2^2=25$$ $$(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2=25$$ $$a_1^2+b_1^2=25$$ olur. Burada birden fazla rota vardır ama bir tanesini elde etmek yeterlidir. Onun için de $(a_1,b_1)=(3,4)$ seçersek, $(a_2,b_2)=(-2,4)$ bulunur. Yani çekirge $$(0,0)\to (3,4)\to (-2,4)\to (1,0)$$ zıplamalarıyla $3$ hamlede $(0,0)$'dan $(1,0)$'a ulaşabilir.
Not: Bu sorudan da görülebileceği üzere $5$ br zıplayarak her tamsayı koordinatlı noktadan her tamsayı sayı koordinata ulaşılabilir.
