2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11

[matematikolimpiyati]

$ABC$ üçgeninin $[BC]\ , \ [AC]$  ve  $[AB]$  kenarları üzerinde$,$ sırasıyla $D\ ,\ E$  ve $F$ noktaları alınıyor. $|AC|=104\ ,\ |AB|=65\ , \ |BD|=35\ , \ m(\widehat{A})=60^{\circ}$  ve  $AD$ açıortay ise $DEF$ üçgeninin çevresinin minimum değeri nedir?

$\textbf{a)}\ 110  \qquad\textbf{b)}\ 120  \qquad\textbf{c)}\ 125  \qquad\textbf{d)}\ 115  \qquad\textbf{e)}\ 105$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{B}$

$D$'nin $AB$ ve $AC$'ye göre yansımaları sırasıyla $D'$ ve $D''$  olsun. $|DF|=|D'F|$ ve $|DE|=|D''E|$ olduğunu biliyoruz. $|D'F|+|D''E|+|EF|=\text{çevre}\geq |D'D''|$ olduğu açıktır. Dolayısıyla cevabın alabileceği en küçük değer $|D'D''|$ kadardır. Ve bu durum $D'D''\cap AB=F$ ve $D'D''\cap AC=F$ olduğunda sağlanır. İç açıortay teoreminden $|DC|=56$'dır. İç açıortay uzunluk teoreminden $$|AD|^2=104\cdot 65-56\cdot 35=13^2\cdot 40-7^2\cdot 40=40\cdot 120\Rightarrow|AD|=40\sqrt3$$ bulunur. $AD'D''$ $120-30-30$ ücgeninden $|D'D''|=120$ bulunur.