2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10

[matematikolimpiyati]

$2122$'den küçük pozitif $x$ tam sayılarının kaç tanesi için $2^x-x^2$ sayısı $7$'ye bölünmez?

$\textbf{a)}\ 1515  \qquad\textbf{b)}\ 1313  \qquad\textbf{c)}\ 1616  \qquad\textbf{d)}\ 1717  \qquad\textbf{e)}\ 1414$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$2^x$'in periyodu $3$ ve $x^2$'nin periyodu $7$ olduğundan $2^x-x^2$'nin periyodu $21$ veya bunun bir böleni olacaktır.

$2^x\equiv 1\pmod{7}$ ise (yani $x\equiv 0\pmod{3}$ ise) $x^2\neq 1\pmod{7}$ olmalıdır. Yani $x\neq 1,6\pmod{7}$'dir. $21$ modunda $5$ tane sayı bulabiliriz.

$2^x\equiv 2\pmod{7}$ ise (yani $x\equiv 1\pmod{3}$ ise) $x^2\neq 2\pmod{7}$ olmalıdır. Yani $x\neq 3,4\pmod{7}$ olmalıdır. $21$ modunda $5$ tane bu formatta sayı vardır.

$2^x\equiv 4\pmod{7}$ ise (yani $x\equiv 2\pmod{3}$ ise) $x^2\neq 4\pmod{7}$ olmalıdır. Yani $x\neq 2,5\pmod{7}$ olmalıdır. $21$ modunda $5$ tane bu formatta sayı vardır. Dolayısıyla $21$ modundaki $15$ tane sayı için $2^x-x^2$ ifadesi $7$'ye bölünmez, $6$ tanesi için bölünür.

$1,2,\dots, 2121$ sayılarını $21$ modundaki sayılar olarak $\frac{2121}{21}=101$ gruba ayırabiliriz. Her gruptan $15$ tane sayı geleceğinden aradığımız özelliklere sahip $101\cdot 15=1515$ tane pozitif tamsayı vardır.