Cevap: $\boxed{B}$
Verilen çarpımı düzenleyelim. $$\prod_{n=1}^{50}\left(4-\frac{2}{n}\right)=\prod_{n=1}^{50}\frac{4n-2}{n}=\frac{1}{50!}\prod_{n=1}^{50} (4n-2)$$ $v(k)$ ile $k$'yı bölen en büyük $3$'ün kuvvetinin üssünü gösterelim. Örneğin, $v(18)=2$, $v(27)=3$'dür. $50!$ içerisindeki $3$ kuvvetlerinin sayısını $$\left\lfloor \frac{50}{3}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{50}{3^2}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{50}{3^3}\right\rfloor+\cdots=16+5+1+0+0+\cdots=22$$ ile bulabiliriz. Dolayısıyla $S=\displaystyle\prod_{n=1}^{50}(4n-2)$ için aradığımız cevap $v(S)-22$'dir. Öncelikle işimize yarayacak çarpanlara odaklanalım, yani $4n-2\equiv 0\pmod{3}$ olan çarpanlara bakalım. Bu şekilde olan $n$'ler için $n\equiv 2\pmod{3}$'dür. Dolayısıyla sadece $n=3k-1$'leri alırsak, $$S_1=\prod_{k=1}^{17}(4(3k-1)-2)=\prod_{k=1}^{17}(12k-6)=6^{17}\prod_{k=1}^{17}(2k-1)$$ için de $v(S)=v(S')$ olacaktır çünkü $S$'nin içerdiği diğer çarpanlar $3$'ün herhangi bir kuvvetini içermemektedir. $2k-1$ sayılarında da sadece $k\equiv 2\pmod{3}$ olanlar $3$ çarpanı içereceğinden sadece $k=3m-1$ formatındaki indisler önemlidir. Bu yüzden $$S_2=3^{17}\prod_{m=1}^{6} (2(3m-1)-1)=3^{17}\prod_{m=1}^{6} (6m-3)=3^{23}\prod_{m=1}^{6} (2m-1)$$ için de $v(S)=v(S_1)=v(S_2)$ olacaktır ($6^{17}$'deki $2$'nin kuvvetlerini de etkisiz olduğundan attık). Son kalan çarpanı da aynı şekilde küçültebiliriz ama yeterince küçük olduğundan elle de hesaplanabilir. $$S'=\prod_{m=1}^{6} (2m-1)=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\implies v(S')=3\implies v(S_2)=v(S)=23+3=26$$ Dolayısıyla aradığımız cevap $v(S)-22=4$'dür.
