2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 07

[matematikolimpiyati]

$x,y,z$  pozitif reel sayıları için$,\ \sqrt[3]{xyz} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2y} + \dfrac{1}{4z}$  toplamının alabileceği minimum değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ \sqrt3  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt6  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 2  \qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt3$

[Eray]

Cevap: $\boxed B$

A.G.O eşitsizliğinden,
$$\begin{align*}
\sqrt[3]{xyz} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2y} + \dfrac{1}{4z}\quad &=\quad \dfrac 1 3 \sqrt[3]{xyz} + \dfrac 1 3 \sqrt[3]{xyz} + \dfrac 1 3 \sqrt[3]{xyz} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2y} + \dfrac{1}{4z}\\
&\ge\quad 6\sqrt[6]{ \left( \dfrac 1 3 \sqrt[3]{xyz} \right)^3 \cdot \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{1}{2y} \cdot \dfrac{1}{4z} }\\
&=\quad 6\sqrt[6]{ \dfrac{xyz}{3^3} \cdot \dfrac{1}{2^3 xyz} }\\
&=\quad 6\sqrt[6]{ \dfrac{1}{6^3} }\\
&=\quad 6\dfrac{1}{\sqrt6}\\
&=\quad \boxed{\sqrt6}
\end{align*}$$ olduğundan, ifadenin değeri en az $\sqrt6$ olabilir.

Peki tam olarak $\sqrt6$ olabilir mi?
A.G.O eşitsizliğindeki eşitlik durumu için altı terim birbirine eşit olmalıdır. Toplamlarının $\sqrt6$ olmasını istediğimizden, her biri $\dfrac{1}{\sqrt6}$ olmalıdır. Bu da
$$\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2y} = \dfrac{1}{4z} = \dfrac{1}{\sqrt6}\\
\Longleftrightarrow \boxed{ (x,y,z) = \left( \sqrt6 , \dfrac{\sqrt6}{2} , \dfrac{\sqrt6}{4} \right) }$$ iken olur. Bu değerler için ifade gerçekten $\sqrt6$ değerini aldığından, cevap $\boxed{\sqrt6}$ dır.