2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 06

[matematikolimpiyati]

$ABCD$ paralelkenarının $[AB],\ [BC]$ kenarları üzerinden sırasıyla $E,\ F$ noktaları alınıyor.

$Alan(ADE)=Alan(DCF)=10$  ve $Alan(EBF)=9$  ise $Alan(DEF)$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 25  \qquad\textbf{b)}\ 24  \qquad\textbf{c)}\ 22  \qquad\textbf{d)}\ 21  \qquad\textbf{e)}\ 19$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{D}$

$AE=x_1,EB=x_2,\angle BAD=\alpha$ olmak üzere, verilen alanlar ile Sinüs Alan bağıntısını kullanırsak
$$AD=\dfrac{20}{x_1.\sin\alpha}, BF=\dfrac{18}{x_2.\sin\alpha}, FC=\dfrac{20}{\left(x_1+x_2\right).\sin\alpha}$$
olduğu söylenebilir. $AD=BF+FC$ olduğundan
$$\dfrac{20}{x_1}=\dfrac{18}{x_2}+\dfrac{20}{x_1+x_2}\Longleftrightarrow \dfrac{10x_2}{x_1\left(x_1+x_2\right)}-\dfrac{9}{x_2}=0\Longleftrightarrow 10x_2^2=9x_1\left(x_1+x_2\right)$$
elde edilir. $t=\dfrac{x_2}{x_1}$ verdiğimizde ifade
$$10x_2^2=9x_1\left(x_1+x_2\right)\Longleftrightarrow \dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{9}{10}\left(1+\dfrac{x_1}{x_2}\right)\Longleftrightarrow 10t^2-9t-9=0$$
son eşitlikten $t=\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{3}{2}$ çıkar. Buna göre
$$A(DEF)=AB.AD.\sin\alpha-\left(9+10+10\right)=\left(x_1+x_2\right).\dfrac{20}{x_1.\sin\alpha}.\sin\alpha-29$$
$$=\dfrac{20\left(x_1+x_2\right)}{x_1}-29=\dfrac{20.x_2}{x_1}-9$$
elde edilir. $\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{3}{2}$ bulunduğundan $A(DEF)=30-9=21$ olarak bulunur.