2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 03

[matematikolimpiyati]

$[-25,15]$  aralığından rastgele alınmış iki reel sayının çarpımının negatif olma olasılığı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{11}{32}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{13}{32}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{15}{32}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{17}{32}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{19}{32}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$0$ sayısı $[-25,15]$ kümesinde tek bir eleman olduğundan eşit dağıtılmış (uniform) şekilde bir eleman seçtiğimizde $0$ gelme olasılığı teknik olarak yoktur (sıfırdır). Bu yüzden çarpımın $0$ çıkma ihtimali de sıfırdır ve hesaba katmaya gerek yoktur. Çarptığımız sayıların pozitif olması için ikisinin de pozitif veya ikisinin de negatif olması gerekir. Bunun ihtimali $$\frac{15\cdot 15}{40\cdot 40}+\frac{25\cdot 25}{40\cdot 40}=\frac{850}{1600}= \frac{17}{32}$$ olur. Çarpımın $0$ çıkma ihtimali olmadığından, negatif olma ihtimali $1-\frac{17}{32}=\frac{15}{32}$'dir.

Direkt olarak $\frac{15\cdot 25}{40\cdot 40}+\frac{25\cdot 15}{40\cdot 40}=\frac{15}{32}$ de diyebilirdik ama iki kere saymamız gerekmesi bazen kafaları karıştırabildiğinden pozitif kısımdan gitmek istedim.

[ygzgndgn]

(Yağız Gündoğan)

Sanırsam pek farklı gitmeyeceğim ama ayrı bir bakış açısı olması için bu çözümü de ekleyeceğim. Reel sayılar sonsuz bir küme olduğundan ötürü dik koordinat düzleminde bahsedilen aralığı gösterebiliriz. y ve x eksenlerinde -25 ve +15 noktaları ayrı ayrı işaretlenirse tüm durumumuzun 40x40 boyutlarındaki bir kare temsilinde olduğu görülür. Oran kullanacağımızdan tüm durumu direkt olarak bu karenin alanı olarak alabiliriz. Tüm durum 40*40=1600 olarak bulunur. İlk çözümde de bahsedildiği gibi çarpımın 0 olma ihtimali ihmal edilebilir. Çarpımın negatif olma ihtimali arandığından bir sayının pozitif diğerinin negatif olarak alındığı durumlar istenen durumumuzdur. Bu ise tüm durumumuzun ve koordinat düzleminin 2 ve 4. bölgelerinin içinde bulunan tüm noktalar için sağlanır. Bu durumun ise 15x25 boyutlarındaki iki dikdörtgen temsilinde olduğu görülür. Böylelikle istenen durumumuz bu dikdörtgenlerin toplam alanı olan 2*15*25=750 olarak bulunur. Olasılığımız ise buradan 750/1600=15/32 olarak bulunur.