Cevap: $\boxed{D}$
$N$ istenilen şartı sağlayan bir sayı olsun. $8$ basamaklı ve rakamları farklı olduğundan $0,1,2,\dots,9$ rakamlarından tam olarak $2$ tanesini içermemelidir. $N$ sayısı $9$'a bölündüğünden ve $0+1+2+\cdots+9=45$ olduğundan kullanılmayan iki sayının toplamı da $9$'un katıdır. Hatta $18$'i aşamayacağından tam olarak $9$'dur. $N=a_1a_2\dots a_8$ olsun. $11$ ve $101$'e bölündüğünden $$a_1+a_3+a_5+a_7\equiv a_2+a_4+a_6+a_8\pmod{11}$$ olmalıdır. Bu $8$ rakamın toplamı $45-9=36$ olduğundan $$a_1+a_3+a_5+a_7=a_2+a_4+a_6+a_8=18$$ olmalıdır. Eşit olmadığı durumlardan denklik sağlanmaz. $101=10^2+1$ modunda incelersek, $$N\equiv -10a_8-a_7+10a_6+a_5-10a_4-a_3+10a_2+a_1\equiv 0\pmod{101}$$ $$\iff a_1-a_3+a_5-a_7\equiv -10a_2+10a_4-10a_6+10a_8\pmod{101}$$ $$\iff 20(a_2+a_6)+(a_1+a_3+a_5+a_7)\equiv 2(a_3+a_7)+10(a_2+a_4+a_6+a_8)\pmod{101}$$ $$\iff 10(a_2+a_6)\equiv (a_3+a_7)+81\pmod{101}$$ bulunur. Soldaki terim $[30,150]$ arasında, sağdaki terim ise $[84,96]$ arasındadır. Dolayısıyla, bu iki ifadenin denk olması için eşit olması gerekir. Buradan $10(a_2+a_6)=(a_3+a_7)+81\implies a_3+a_7=a_2+a_6=a_4+a_8=a_1+a_5=9$ olmalıdır. Bu sağlanırsa, $9$, $11$ ve $101$'e bölünme otomatik olarak sağlanacaktır. Sadece $a_1,a_8\neq 0$ seçmeliyiz. $0,1,2,\dots,9$ sayıları $(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)$ olarak gruplandırılabilir. Bunlardan $4$ tanesini seçip $(a_1,a_5),(a_2,a_6),(a_3,a_7),(a_4,a_8)$ olarak sıralayacağız. $a_1,a_8\neq 0$ koşulu olmadan $\dbinom{5}{4}\cdot 4!\cdot 2^4=1920$ olacaktır.
$a_1=0$ veya $a_8=0$ durumunda sırasıyla $a_5=9$ veya $a_4=9$'dur ve $2\cdot \dbinom{4}{3}\cdot 3!\cdot 2^3=384$ sayı vardır. Bunları çıkartırsak, $1920-384=1536$ tane istenilen formatta sayı bulunur.
