2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 01

[matematikolimpiyati]

$25$ öğrencinin yarısından fazlası kırtasiyeden her biri eşit sayıda ve $2$'den fazla olmak üzere aynı kalemden aldılar. Bir kalemin kuruş cinsinden değeri$,$ bir öğrencinin aldığı kalem sayısından fazladır. Tüm kalemlerin değeri $10\ TL\ 45\ Kr$ ise bir kalemin kuruş cinsinden değerinin rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 10  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 4$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Aynı kalemden alan öğrenci sayısı $a$ olsun. $25\geq a\geq 13$'dür. Her biri $k$ tane kalem almış olsun ve kalemin kuruş cinsinden değeri $x$ kuruş olsun. Bize verilen bilgiler $x>k>2$ ve $akx=1045$ olduğudur. $a\mid 1045=5\cdot 11\cdot 19$ olduğundan ve $13\leq a\leq 25$ olduğundan $a=19$ olmalıdır. Yani $kx=55$'dir.

$x>k$ olduğundan $55>k^2>4$ olmalıdır. Bu şartı sağlayan $k$'ler $k=3,4,5,6,7$'dir ancak $k\mid 55$ olmasını sağlayan tek $k$ değeri $5$'dir. Sonuç olarak $(a,k,x)=(19,5,11)$'dir. Kalemin kuruş cinsinden ücreti $x=11$'dir ve rakamları toplamı $2$'dir.