2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 24

[matematikolimpiyati]

Şekildeki dik üçgende$,\ |AC|=1,\ |AB|=\sqrt3$  ve  $|CB|=2$'dir. $DE,\ CB$'ye paralel ve $DEF$ üçgeninin alanı $\sqrt3/8$ olduğuna göre$,\ DEF$ üçgeninin çevresinin uzunluğu en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 1+2\sqrt3  \qquad\textbf{b)}\ 1+\sqrt5/2  \qquad\textbf{c)}\ 1+\sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ 1+\sqrt6/2  \qquad\textbf{e)}\ 1+\sqrt7/2$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed {E}$

$|AD|=x$ olsun. $|DE|=2x$ ve $DE$ ile $CF$'nin uzaklığı $\frac{2-2x}{\sqrt3}$ olur. Alanın $\frac{\sqrt3}{8}$ olmasından $x=\frac{1}{2}$ bulunur. $D$'nin $BC$'ye göre simetriği $D'$ olsun $D'EF$ üçgeninde üçgen eşitsizliğinden $|DF|+|EF|>|D'E|$ olur. $DD'E$ üçgeninde pisagordan $|D'E|=\frac{\sqrt7}{2}$ olur.  Deminki eşitsizlikte her tarafa $|DE|=1$ eklenirse $|DF|+|EF|+|DE|\geq\frac{\sqrt7}{2}+1$ olur. Eşitlik durumu $F=D'E\cap BC$ olduğunda sağlanır.