2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 23

[matematikolimpiyati]

$a_0=2,\ a_1=3$  ve her  $k \geq 1$  için$,\ a_{k+1}=a_k + a_{k-1}$  şeklinde tanımlanmış $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ dizisi veriliyor.

               $S=\dfrac{1}{2^1a_0} \left(\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2}\right) + \dfrac{1}{2^2a_1} \left(\dfrac{1}{a_2} + \dfrac{1}{a_3}\right) + \cdots + \dfrac{1}{2^ka_{k-1}} \left(\dfrac{1}{a_k} + \dfrac{1}{a_{k+1}}\right) + \cdots$

sonsuz toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac13  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac17  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac16  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac15  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{2}{11}$