2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 22

[matematikolimpiyati]

$P(x)$ bir polinom olmak üzere$,\ P(x)=x(1-x)Q(x)$  eşitliği sağlansın. Her $x \neq 0$  ve  $x \neq 1$  reel sayısı için

                                         $Q(x)=Q\left(\dfrac{1}{1-x}\right)$

eşitliğinin sağlandığı biliniyorsa$,\ P(x)$ polinomunun derecesi kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 4$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed {B}$

Eşitliği $P(x)$ cinsinden yazarsak $$\frac{P(x)}{x(1-x)}=\frac{P(\frac{1}{1-x})}{\frac{1}{1-x}\cdot \frac{x}{x-1}}\Rightarrow P(\frac{1}{1-x})(x-1)^3=P(x)\Rightarrow (x-1)^3=\frac{P(x)}{P(\frac{1}{1-x})}$$ bulunur. Cevap $n$ olsun. Polinomu $(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$ olarak düşünebiliriz. Yerine koyarsak $$(x-1)^3=\frac{(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)}{(\frac{1}{1-x}-x_1)\cdot (\frac{1}{1-x}-x_2) \cdots (\frac{1}{1-x}-x_n)}=\frac{(x-1)^n\cdot (x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)}{(x_1x-x_1+1)(x_2x-x_2+1)\cdots (x_nx-x_n+1)}$$ elde edilir. Bu ifade $n.$ dereceden olup $n=3$ olduğunu anlamamızı sağlar.