2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 17

[matematikolimpiyati]

$x,y \in \mathbb{Z}$ olmak üzere$,$

                 $F(x,y)=\sqrt{x^2+y^2+2x-10y+26} + \sqrt{x^2+y^2-6x+6y+18}$

fonksiyonu en küçük değerini kaç noktada alır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 1  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[Ege Sarıbaş]

Fonksiyon, ekte belirttiğim resimde |AB| + |BC| uzunluğuna eşittir. |AB| + |BC|'nin alabileceği en küçük değer ise şekildeki B noktasının AC üzerinde olmasıyla mümkündür. Eğer B noktası AC üzerinde olursa hipotenüsü AB ve BC olan iki dik üçgen benzer olur. Benzerliği uyguladığımızda ise
 2x + y = 3 bulunur. Şekildeki uzunluklar pozitif olduğundan:
y ≤ 5 ve x ≤ 3 olur. Bu eşitsizlikleri ve 2x + y = 3 denklemini sağlayan x ve y tam sayı değerleri:
(3, - 3)
(2, - 1)
(1, 1)
(0, 3)
(- 1, 5)
olduğundan cevap 5 olur.