2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 16

[matematikolimpiyati]

Şekildeki üçgende  $|BD|=|AC|=1,\ m(\widehat{BAD})=30^{\circ}$  ve  $m(\widehat{DAC})=90^{\circ}$  olduğuna göre$,\ |DC|$ uzunluğunu hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ \sqrt[3]{2}  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt[3]{3}  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt[3]{4}  \qquad\textbf{d)}\ \sqrt[3]{5}  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt[3]{6}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$m(\widehat{ABC})=\alpha$ diyelim. $ABD$ ve $ABC$ üçgeninde sinüs teoremi uygularsak $$\frac{|AD|}{\sin{\alpha}}=\frac{|BD|}{\sin{30^\circ}}\implies \sin{\alpha}=\frac{\sqrt{x^2-1}}{2}$$ $$\frac{|BC|}{\sin{120^\circ}}=\frac{|AC|}{\sin{\alpha}}\implies \sin{\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2(1+x)}$$ Bu iki eşitlikleri birleştirirsek $$\frac{\sqrt{x^2-1}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2(1+x)}\implies (x+1)\sqrt{x^2-1}=\sqrt{3}\implies (x+1)^2(x^2-1)=3\implies (x+2)(x^3-2)=0$$ $$\implies \boxed{x=\sqrt[3]{2}}$$

Not: Bildiğim kadarıyla cetvel ve pergel kullanarak $\sqrt[3]{2}$ sayısını elde edemiyoruz. Yani bu şekli cetvel ve pergel ile çizemeyiz. Peki bu şeklin çizimi sırasında tam olarak nerede sorun çıkar?