2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 15

[matematikolimpiyati]

$(x^3+2x^2-x)^{10} + (x^3+2x^2-x)^9 + \cdots + (x^3+2x^2-x)^1 =2011$  denkleminin tüm (reel ve kompleks) köklerinin kareleri toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 100  \qquad\textbf{b)}\ 60  \qquad\textbf{c)}\ 50  \qquad\textbf{d)}\ 40  \qquad\textbf{e)}\ 30$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed {B}$

Bir $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_0$ polinomu için köklerin kareleri toplamının $(\frac{a_{n-1}}{a_n})^2-\frac{2a_{n-2}}{a_n}$ olduğunu biliyoruz. Bu polinom için bu değerleri bulalım. Bu terimlerin tümünün $(x^3+2x^2-x)^{10}$ ifadesinden geleceği açıktır. Bu ifadeyi $x^{10}(x^2+(2x-1))^{10}$ olarak düşünelim. $x^{30}$ için katsayının $1$ olduğu barizdir. $(x^2+(2x-1))^{10}$ ifadesinde $x^{19/18}$'e bakacağız. İfadenin açılımı binomdan $x^{20}+10\cdot x^{18}\cdot (2x-1)+45\cdot x^{16}\cdot (2x-1)^{2}+\cdots$ şeklindedir. Geri kalan kısımlar herhangi bir katkı sağlamaz. Bu kısımda düzenleme yaparsak $x^{20}+20x^{19}+170x^{18}$ gelir. Başta dediğimiz işlemi yaparsak cevap $400-340=60$ bulunur.