2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13

[matematikolimpiyati]

Kenarları asal sayı ve alanı tam sayı olan kaç üçgen vardır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 0  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Sayıda}$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed {C}$

Kenarlar $p,q,r$ olsun. Herondan alan $\frac{\sqrt{(p+q+r)(p+q-r)(p+r-q)(r+q-p)}}{4}$ olur. Bunun tamsayi olması için kokun içindeki sayı çift olmalıdır. Sayıların hepsi tek asal sayılar olursa bu sağlanmaz. Sayılardan en az biri $2$'dir. Üçgen eşitsizliginden $|p-q|<2$ olduğunu biliyoruz. Buradan $-1\leq|p-q|\leq1$ gelir. $p$ ve $q$ nün ardışık asal sayılar veya aynı sayı olduğu anlaşılır. İlk durum denklemde yerine yazılırsa. İfade tamsayi olmaz. Diğer durum içinde çözüm olmadığı rahatlıkla görülür. Hiç çözüm yoktur.