2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 12

[matematikolimpiyati]

$x,y,z$  pozitif reel sayılar olmak üzere$,\ xyz(x+y+z-4)$  ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ -1  \qquad\textbf{b)}\ -2  \qquad\textbf{c)}\ 0  \qquad\textbf{d)}\ -4  \qquad\textbf{e)}\ -3$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed {A}$

$x,y,z$ pozitif olduğundan $AGO$ sonucu $x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$ ve $x+y+z-4\geq 3\sqrt[3]{xyz}-4$ yazılabilir. $\sqrt[3]{xyz}=u$ olsun. Her tarafı $u^3$ ile çarparak bizden minimumu istenen ifade için $S\geq u^3(3u-4)$ bulunur. Türev kullanırsak bu ifadenin minimumu $12u^3-12u^2=0$ yani $u=1$ olduğunda olur. $0$ durumu $xyz>0$ olduğundan alınamaz. Yerine konursa  $S\geq -1$ bulunur. Örnek durum tüm sayıların $1$ olduğu durumdur.