2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11

[matematikolimpiyati]

$3^{1080}-1$ sayısı iki basamaklı  $\overline{aa}$  türündeki sayılardan kaçıyla tam bölünür?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 7$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed {D}$

Sayıyı $a\cdot 11$ olarak düşünebiliriz. Fermattan $3^{10}≡1\pmod{11}$ olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla $3^{1080}-1$ zaten $11$'e bölünür. $a$'ya bölünmesini sağlamalıyız. Tek tek deneyelim.
$ a=1\Rightarrow $ sağladığı açıktır.
$a=2\Rightarrow $ sayı çift olduğundan sağladığı açıktır.
$a=3\Rightarrow $ sayı $3k-1$ biçiminde olduğundan sağlamaz.
$a=4\Rightarrow $ $(-1)^{1080}-1≡0\pmod4$ olduğundan sağlar.
$a=5\Rightarrow $$3^4≡1\pmod5$ olduğundan sağladığı açıktır.
$a=6\Rightarrow $sayı $3$'e bölünmediğinden sağlamaz.
$a=7\Rightarrow $$3^6≡1\pmod7$ olduğundan sağladığı görülebilir.
$a=8\Rightarrow $Sayı $9^{540}-1≡1^{540}-1≡0\pmod8$ olur. Sağlar.
$a=9\Rightarrow $Sayı $3$'e bölünmediğinden sağlamaz.
Sonuç olarak $6$ durum vardır.