2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 09

[matematikolimpiyati]

$A=\sqrt[6]{208-120\sqrt3}$  sayısının ondalık gösteriminde virgülden sonraki ilk rakam aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 8  \qquad\textbf{e)}\ 7$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed {E}$

İfadeyi $\sqrt[6]{208-2\sqrt{60^2\cdot3}}=\sqrt[6]{208-2\sqrt{108\cdot{100}}}=\sqrt[6]{(\sqrt{108}-\sqrt{100})^2}=\sqrt[3]{6\sqrt3-10}$ olarak yazılabilir. $6\sqrt3-10=3\sqrt3-9+3\sqrt3-1=\sqrt3^3+3\cdot (\sqrt3)^2\cdot (-1)+3\cdot (-1)^2\cdot\sqrt3+(-1)^3=(\sqrt3-1)^3$ olarak yazabiliriz. Buradan baştaki ifadenin $\sqrt3-1$ olduğu anlaşılır. $\sqrt3≈1,7$ olduğundan ifademiz $≈0,7$ olur. Cevap $7$ bulunur.