2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 08

[matematikolimpiyati]

$x(x-y^2)=y^2-76$  eşitliğini sağlayan negatif olmayan $x,y$  tam sayıları için $2x-y$'nin en küçük değeri nedir?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 8  \qquad\textbf{e)}\ 16$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed {D}$

İfadeyi açıp düzenlersek $y^2=\frac{x^2+76}{x+1}$ bulunur. $x^2-1+77$ olarak yazarsak $x+1 | 77$ olur. $2x-y$'nin minimum olması için $x$'in küçük $y$'nin büyük olması gerekir. Deminki bölünebilirlikten $x$ en az $6$ olabilir. $y^2=16$ olur ki bu mümkündür. $2x-y=8$ bulunur.