2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 06

[matematikolimpiyati]

Pozitif tam sayılar $1$'den başlayarak artan sırada yazılıyor. $1$'i kutu içerisine alıyoruz. Daha sonra$,\ 1^2=1$ tane sayıyı atlayarak $3$'ü kutu içine alıyoruz. Bir sonraki kutu içine alınacak sayıyı da$,\ 2^2=4$ tane sayı atlayarak buluyoruz. Bu şekilde$,$ sırasıyla $3^2,4^2,...$ tane sayı atlanarak$,$ sayıları kutu içine alıyoruz. Aşağıda örnek verilmiştir.

                      $\boxed{1},2,\boxed{3}, \underbrace{4,5,6,7}_{2^2\ terim\ atlandı} , \boxed{8}, \underbrace{9,10,11,12,13,14,15,16,17}_{3^2\ terim \ atlandı} , \boxed{18}, \underbrace{19,...,34}_{4^2\ terim\ atlandı} , \boxed{35} , 36,...$

Buna göre$,\ 21$'inci kutunun içindeki sayı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2891  \qquad\textbf{b)}\ 2786  \qquad\textbf{c)}\ 2938  \qquad\textbf{d)}\ 2985  \qquad\textbf{e)}\ 2878$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed {A}$

$n.$ adımda kutuya alınan sayı $1+1^2+1+2^2+1+3^2+\cdots+(n-1)^2+1=n+\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$'dır. $21$ koyarsak Yanıt $21+\frac{20\cdot 21\cdot 41}{6}=21+2870=2891$ bulunur.