2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 02

[matematikolimpiyati]

Şekilde$,\ ABCD$ bir kare ve $BE$ ile $FD$ birbirine paralel olup$,$ aralarındaki uzaklık $1$'dir.

                        $A(AEB)=A(BEDF)=A(FDC)$

ise karenin alanı nedir?

$\textbf{a)}\ 12  \qquad\textbf{b)}\ 13  \qquad\textbf{c)}\ 14  \qquad\textbf{d)}\ 15  \qquad\textbf{e)}\ 11$

[diktendik]

Yanıt: $\boxed{B}$

Paralelkenarın alanı $|ED|\cdot|AB|$ ve üçgenlerden birinin alanı $\frac{|AB|\cdot|AE|}{2}$ olduğundan $|AE|=2|ED|$ bulunur. $|ED|=x$ olsun. Karenin bir kenarı $3x$ olduğundan $9x^2$ cevabı verecektir. $A$'dan $BE$'ye inen dikme ayağı $T$ olsun. Benzerlikten $|AT|=2$ olur. $A(ABE)=3x^2=|BE|$ ve $|BE|=3x^2$ bulunur. Yine bu üçgende pisagordan $9x^4=13x^2$ ve $9x^2=13$ bulunur.