2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20

[matematikolimpiyati]

Farklı olmaları gerekmeyen $100$ reel sayıdan oluşan bir kümede$,$ her sayı$,$ geriye kalan $99$ sayının toplamının $1/7$'sinden büyük olsun. Bu kümedeki negatif sayıların sayısı en az kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 8  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ 10$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Bu $100$ sayının toplamı $S$ olsun. Bu sayılar arasındaki herhangi bir $x$ için $$x>\frac{S-x}{7}\implies x>\frac{S}{8}$$ olacaktır. Herhangi $8$ tane elemanı aldığımızda $x_1+x_2+\cdots+x_8>S=x_1+x_2+\cdots+x_{100}$ olacağından geri kalan $92$ eleman içinde her zaman bir negatif sayı olmalıdır. Eğer $8$ veya daha az negatif sayı varsa, bunları içeren $8$ sayı seçtiğimizde kalan $92$ eleman içinde negatif sayı olmayacak, bu da bir çelişki çıkartacaktır. Yani en az $9$ tane negatif sayı vardır. Buna örnek bulmaya çalışalım. $9$ tane $-100$ ve $91$ tane $0$ seçersek, $S=-900$ olacak ve her eleman için $$x>\frac{-900}{8}=-112.5$$ doğru olacaktır.