2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 19

[matematikolimpiyati]

Şekilde $|AD|=4\ ,\ |DC|=2\sqrt2$  ve $|DB|=2$ 'dir. $\widehat{A} + \widehat{B} = 60 ^{\circ}$  ise $C$ 'den $[AB]$ 'ye indirilmiş yüksekliğin uzunluğu nedir?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{\sqrt5}{2}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{2\sqrt2}{3}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$\widehat{A}+\widehat{B}=60^\circ$ olduğundan $\widehat{C}=120^{\circ}$ olacaktır. $|AC|=x$, $|BC|=y$ ve $[AB]$'ye inilen dikmenin uzunluğu $h$ olsun. Sinüs alan formülünden, $$\frac{1}{2}xy\sin{120^{\circ}}=\frac{|AB|h}{2}\implies h=\frac{xy\sqrt{3}}{12}$$ elde edilir. Bizim $xy$ değerini bulmamız gerekir. Stewart ve cosinüs teoreminden $$\frac{2x^2+4y^2}{6}-8=(2\sqrt{2})^2\implies x^2+2y^2=48$$ $$x^2+y^2+xy=36\implies (xy)^2=(36-x^2-y^2)^2=(36-(48-2y^2)-y^2)^2=(y^2-12)^2$$ $$(xy)^2=x^2y^2=(48-2y^2)y^2\implies 48y^2-2y^4=(y^2-12)^2=y^4-24y^2+144$$ $$\implies y^4-24y^2+48=(y^2-12)^2-96=0\implies y^2=12\pm 4\sqrt{6}$$ $$\implies x^2=48-2y^2=48-24\mp 8\sqrt{6}=24\mp 8\sqrt{6}$$ Yerine yazarsak, $x^2+y^2=36\mp 4\sqrt{6}$ elde edilir. $x^2+y^2+xy=36$ olduğundan $$xy=36-(x^2+y^2)=\pm 4\sqrt{6}\implies xy=4\sqrt{6}\implies h=\frac{12\sqrt{2}}{12}=\sqrt{2}$$ elde edilir.

Not: $xy$ değerine gelene kadar $x^2$ ve $y^2$ terimlerindeki "$\pm$"'de hangi işaretin geleceğini kestiremiyoruz ama $xy$'yi hesapladığımızda $y=\sqrt{12+4\sqrt{6}}$ ve $x=\sqrt{24-8\sqrt{6}}$ olması gerektiğini görebiliriz.

[geo]

$(ABC)$ çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun.
$\angle AOB = 120^\circ$ ve $AO=OB=2\sqrt 3$.
Stewart'ın özel halinden (ya da eşdeğer olarak kuvvetten) $OD^2 = AO^2 - AD\cdot BD = (2\sqrt 3)^2 - 4\cdot 2 = 4 \Longrightarrow OD = 2$ elde edilir. $OD=DB=2$ olduğu için $\angle DOB = \angle DBO = 30^\circ$ ve $\angle ODA = 60^\circ$ elde edilir.
$OC=2\sqrt 3$, $CD = 2\sqrt 2$ ve $OD=2$, dolayısıyla $OC^2 = CD^2 + OD^2$ olduğu için $\angle ODC = 90^\circ$ ve $\angle ADC = 30^\circ$ dir.
Bu durumda $C$ den $AB$ ye inilen yükseklik $CD \cdot \sin 30^\circ = 2\sqrt 2 \cdot \dfrac 12 = \sqrt 2$ dir.