2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18

[matematikolimpiyati]

$x > 0$  olmak üzere$,\ x- \dfrac{\sqrt{x^4+9}-3}{x}$  ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ \sqrt6(\sqrt2-1)  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt6(\sqrt2+1)  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt3(\sqrt2-1)  \qquad\textbf{d)}\ \sqrt3(\sqrt2+1)  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt2(\sqrt3-1)$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

İfadeyi düzenlersek, $$x-\frac{\sqrt{x^4+9}-3}{x}=x+\frac{3}{x}-\sqrt{x^2+\frac{9}{x^2}}$$ elde edilir. $x+\frac{3}{x}=y$ dersek, $y^2=x^2+\frac{9}{x^2}+6$ olacağından ifade $y-\sqrt{y^2-6}$ haline gelir. $x>0$ olduğundan $$y=x+\frac{3}{x}\geq 2\sqrt{x\cdot \frac{3}{x}}=2\sqrt{3}$$ elde edilir. Buradan da $$y-\sqrt{y^2-6}=\frac{(y-\sqrt{y^2-6})(y+\sqrt{y^2-6})}{y+\sqrt{y^2-6}}=\frac{6}{y+\sqrt{y^2-6}}\leq \frac{6}{2\sqrt{3}+\sqrt{(2\sqrt{3})^2-6}}=\frac{6}{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}$$ elde edilir. Eşitlik durumu da $x=\sqrt{3}$'dür. Maksimum değeri düzenlersek, $$\frac{6}{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}=\frac{6(2\sqrt{3}-\sqrt{6})}{(2\sqrt{3}+\sqrt{6})(2\sqrt{3}-\sqrt{6})}=2\sqrt{3}-\sqrt{6}=\sqrt{6}(\sqrt{2}-1)$$ elde edilir.