2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 17

[matematikolimpiyati]

$ABCD$ bir ikizkenar yamuk$,\ [AB] // [DC] \ ,\ |AB|=|BC|=|AD|=5$  ve $|CD|=11$ olarak verilsin. $AEB$ üçgeninin alanı$,\ BEC$ üçgeninin alanının $5$ katı olacak şekilde$,$ aynı düzlem üzerinde seçilen bir $E$ noktası ile $D$ noktası arasındaki uzaklık en az kaçtır?

$\textbf{a)}\ 5\sqrt3  \qquad\textbf{b)}\ 6\sqrt2  \qquad\textbf{c)}\ 5\sqrt5  \qquad\textbf{d)}\ 4\sqrt3  \qquad\textbf{e)}\ 4\sqrt5$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed {B}$

Bu alanlar koşulunu sağlayan tüm noktalar bir doğrunun üzerindedir ve bu $EB$ doğrusu için $\frac{\sin{\angle{EBD}}}{\sin{\angle{EBC}}}=5$ olmalıdır. $D$ noktasından bu doğruya inen dikmenin uzunluğunu arıyoruz. $\angle{EBC}=\theta$ ve $\angle{EBD}=\alpha$ olsun. $\sin{(\alpha+\theta)}=\frac{4}{5}$ olduğunu biliyoruz. Sinüs toplam formülü ve $1/5$ oranından $$5\sin{\theta} \cdot \sqrt{1-\sin^2{\theta}}+\sin{\theta} \cdot \sqrt{1-25\sin^2{\theta}}=\frac{4}{5}$$ yazılabilir. Bunun anlamı, bir kenarı $5$, bir kenarı $1$, bu iki kenarında kesişiminden inen yüksekliği $5\sin{\theta}$ olan bir üçgende diğer kenarın $\frac{4}{5\sin{\theta}}$ olacak olmasıdır. Alandan yararlanırsak $1$ olan kenara inen yükseklik $4$'tür ve pisagordan $\frac{4}{5\sin{\theta}}=4\sqrt2$ ve $\sin{\theta}=\frac{\sqrt2}{10}$ bulunur. $\sin{\alpha}=\frac{\sqrt2}{2}$ elde edilir. Burada dikkat edilmesi gereken şey $\theta$'nın dar, $\alpha$'nın geniş açı olmasıdır. $ADB$ üçgeninde dikme ile $|BD|=4\sqrt2$ bulunur. Demin bulduğumuz sinüsler ve darlık/genişlikle $\sin{\angle{EBC}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$ ve $|ED|=6\sqrt2$ bulunur.

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

$[AC]$ üzerinde $|AF|/|CF|=5$ olacak şekilde $F$ noktası alalım.
$[AC$ üzerinde $[AC]$ dışında $|AG|/|CG|=5$ olacak şekilde $G$ noktası alalım.
$BF$ ile $CD$, $F_1$ de; $BF$ ile $CD$, $G_2$ de kesişin.
Benzerlikten $CF_1=1$ ve $CG_1=1$ dir.
$F, G,  F_1, G_1$ noktaları sorudaki $E$ noktalarının şartını sağlar.
Dahası, $BF_1$ veya $BG_1$ üzerindeki her nokta bu şartı sağlar.
Soruda $D$ noktasının bu doğrulara olan uzaklığından küçük olan isteniyor.
$B$ den $CD$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ olsun.
İkizkenar yamuğun özelliklerinden $HC=\dfrac{11-5}2=3$ tür.
Bu durumda $HF_1=2$ dir.

$D$ nin $BF_1$ doğrusuna uzaklığı $d_F=DF_1\cdot \sin \angle DF_1B = 10\cdot \dfrac{4}{2\sqrt 5} = 4\sqrt 5$.

$D$ nin $BG_1$ doğrusuna uzaklığı $d_G=DG_1\cdot \sin \angle DG_1B = 12\cdot \dfrac{4}{4\sqrt 2} = 6\sqrt 2$.
$\min (d_F, d_G) = 6\sqrt 2$ dir.

[geo]

$D(0,0)$, $A(3,4)$, $B(8,4)$, $C(11,0)$ ve $E(x,y)$ olsun.
$[AEB] =5[BEC]$ eşitliğini determinant kullanarak ifade edelim.
$$\begin{vmatrix}
3 & 4 \\
8 & 4 \\
x & y \\
3 & 4
 \end{vmatrix} = 5\begin{vmatrix}
8 & 4 \\
11 & 0 \\
x & y \\
8 & 4
 \end{vmatrix}$$

$|12+8y+4x-32-4x-3y|=5|11y+4x-44-8y|$
Sadeleştirirsek $|5y-20|=|20x+15y-220|$ elde ederiz. Buradan Buradan $\ell_1:2x+y-20=0$ ve $\ell_2:x+y-12=0$ şeklinde iki çözüm gelir.
$D$ noktasının bu doğrulara uzaklıkları; $d_1=\dfrac{20}{\sqrt{5}}=4\sqrt 5$ ve $d_2=\dfrac{12}{\sqrt 2}=6\sqrt 2$ dir. O halde $\min (d_1,d_2)=6\sqrt 2$

[geo]

Bu sorunun şıkları, elimdeki eski bir dokümanda $B) \ 7\sqrt 3$ olarak verilmiş. Yine bu dokümanda cevap anahtarında, $E) \ 4\sqrt 5$ olarak verilmiş.

Antalya Matematik Olimpiyatının şu anki sitesinde yer alan dokümanda bir cevap anahtarı yok: ama $B) \ 6\sqrt 2$ olarak verilmiş.