2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 16

[matematikolimpiyati]

$a_n$ dizisi$\ ,\ a_1=a_2=1$  ve $n \geq 2$  için $a_{n+1} - a_{n-1} = \dfrac{1}{a_n}$ şeklinde tanımlanıyor. Buna göre$,\ \dfrac{a_{99}}{a_{97}}$ oranı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{99}{97}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{98}{97}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{100}{99}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{100}{97}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{101}{99}$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed {B}$

İfadeyi $a_{n+1}a_n-a_na_{n-1}=1$ olarak yazalım $n=2$'den $n=x$'e kadar yazıp alt alta toplarsak $a_{x+1}a_x-a_2a_1=x-1$ ve $a_{x+1}a_x=x$ bulunur. $x$ yerine $x+1$ yazarsak bu ifade $a_{x+2}a_{x+1}=x+1$ olur ve taraf tarafa oranlarsak $\frac{x+1}{x}=\frac{a_{x+2}}{a_x}$ bulunur. $x=97$ için cevap $\frac{98}{97}$ bulunur.