2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 15

[matematikolimpiyati]

Şekilde $|AB|=c\ ,\ |AC|=b$  ve $c>b$  olup$,\ D,\ [BC]$ 'nin orta noktası$;\ [AK],\ BAC$ açısının açıortayı ve $E$ noktası da $D$ nin bu açıortaya göre simetriği olsun. Buna göre$,\ A$ ile $D$ arasındaki uzaklık aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{2bc}{b+c}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{b+c}{2}  \qquad\textbf{d)}\ \sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{bc}$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed {E}$

$AED$ üçgeninin ikizkenar olduğu açıktır. $AK$, $\angle{EAD}$ için açıortaydır. $\angle{EAC}=\angle{DAB}$ olur. $\angle{AEC}=\angle{ABC}$ olduğuda açıktır. ikizkenarliktan $|AE|=|AD|$'dir. Deminki açılardan $\triangle {ACE}\sim \triangle {ADB}$'dır. Buradan $|AE|\cdot |AD|=bc$ elde edilir. $|AE|=|AD|$ olduğunu söylemiştik. Buradan cevap $\sqrt{bc}$ bulunur.