2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 14

[matematikolimpiyati]

$n$  bir doğal sayı olmak üzere$,$

$\dfrac{1}{1!19!} + \dfrac{1}{3!17!} + \dfrac{1}{5!15!} + \cdots + \dfrac{1}{19!1!} = \dfrac{2^k}{2n+1}$

eşitliğini sağlayan $k$  tam sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ -1  \qquad\textbf{e)}\ -2$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt B'dir.

Öncelikle sol ve sağ tarafı 20! ile çarpalım ve binom katsayılarının özelliklerini kullanalım.

20! Ile çarptığımızda:

C(20,1) + C(20,3) + ... + C(20,19) = 2²⁰/2=2¹⁹
 olduğunu biliyoruz.

Buna göre bu toplamın 20!.2^k, içerisinde 19 tane 2 çarpanı bulundurmalıdır çünkü paydadaki 2n+1  bizi 2 çarpanı olarak etkilemeyecektir.

Buna göre 20!.2^k = 2¹⁹.a^x.b^y... ise
      De Polignac formülüne göre:
            => 20! in içerisinde 18 tane 2 çarpanı vardır. 2¹⁹'u elde edebilmek için ise 2^k=2¹ ve k=1 olmalıdır. Cevabımız 1'dir.