2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13

[matematikolimpiyati]

$\dfrac{\sqrt{1 \cdot 2}}{2009} + \dfrac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2009} + \dfrac{\sqrt{3 \cdot 4}}{2009} + \cdots + \dfrac{\sqrt{2009 \cdot 2010}}{2009}$

sayısının ondalık yazılımında virgülden sonraki ilk basamaktaki rakam kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ 0$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Verilen toplama $S$ diyelim. Yani $$2019S=\sum_{n=1}^{2019}\sqrt{n(n+1)}$$ olacaktır. $\epsilon>0$ ve $n>\frac{\epsilon}{2}+\frac{1}{8\epsilon}-\frac{1}{2}$ için $n+\frac{1}{2}>\sqrt{n(n+1)}>n+\frac{1}{2}-\epsilon$ olduğundan, $1>\frac{\epsilon}{2}+\frac{1}{8\epsilon}-\frac{1}{2}$ olduğu sürece şu eşitsizliği kullanabiliriz. $$\sum_{n=1}^{2019}\left(n+\frac{1}{2}\right)>2019S>\sum_{n=1}^{2019}\left(n+\frac{1}{2}-\epsilon\right)\implies 2019\cdot 1010+\frac{2019}{2}>2019S>2019\cdot 1010+2019\left(\frac{1}{2}-\epsilon\right)$$ $$\implies 1010.5>S>1010.5-\epsilon$$ elde edilir. $\epsilon=\frac{1}{10}$ seçersek $S\in(1010.4,1010.5)$ olacağından $S$'nin virgülden sonraki ilk basamağı $4$'dür.

Not: Sade olması için direkt olarak $n+\frac{1}{2}>\sqrt{n(n+1)}>n+\frac{2}{5}$ eşitsizliğinden gidilebilir.