2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 12

[matematikolimpiyati]

$\bigl \langle a_1,a_2,a_3,a_4,a_5 \bigr \rangle$  gösterimi

                    $\dfrac{a_1}{5} + \dfrac{a_2}{5^2} + \dfrac{a_3}{5^3} + \dfrac{a_4}{5^4} + \dfrac{a_5}{5^5}$

toplamını ifade etmektedir. $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ rakamları $\{0,1,2,3,4\}$ kümesinden seçilmek üzere$,$  tüm $\bigl \langle a_1,a_2,a_3,a_4,a_5 \bigr \rangle$ sayılarının oluşturduğu kümenin elemanları büyükten küçüğe sıralanıyorlar. Buna göre$,$ baştan $2222.$ sayı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \bigl \langle 1,0,1,2,3 \bigr \rangle  \qquad\textbf{b)}\ \bigl \langle 1,1,2,1,0 \bigr \rangle  \qquad\textbf{c)}\ \bigl \langle 2,1,1,0,2 \bigr \rangle  \qquad\textbf{d)}\ \bigl \langle 1,1,1,3,0 \bigr \rangle  \qquad\textbf{e)}\ \bigl \langle 1,2,1,0,3 \bigr \rangle$

[Lokman Gökçe]

Yanıt:  $\boxed{E}$
Sorunun taban aritmetiği ile ilgili olduğunu görmekte fayda var. $\dfrac{a_1}{5} + \dfrac{a_2}{5^2} + \dfrac{a_3}{5^3} + \dfrac{a_4}{5^4} + \dfrac{a_5}{5^5} = \dfrac{1}{5^5}\left( 5^4 a_1 +  5^3 a_2 +  5^2 a_3 +  5^1 a_4 +  5^0 a_5 \right) = \dfrac{1}{5^5}\cdot (a_1 a_2 a_3 a_4 a_5)_5 $ biçiminde $5$ tabanına göre yazabiliriz. O halde $(a_1 a_2 a_3 a_4 a_5)_5 $ yazılışı ile ilgileneceğiz.
 
Tüm küme $5^5$ elemanlıdır. Elemanlar büyükten küçüğe sıralandığında baştan $2222$-nci terim, elemanlar küçükten büyüğe sıralandığında baştan $ 5^5 - 2222 + 1 $-inci terimdir. En küçük terim $ 0 = \bigl \langle 0, 0 , 0, 0, 0 \bigr \rangle $ sayısı olduğundan, küçükten büyüğe doğru sıralanıştaki baştan $5^5 - 2222 = 903$-üncü pozitif elemanı bulmalıyız. Bunun için $5$-lik sayı tabanı kullanılırsa $903 = (12103)_5$ olarak dönüştürülür. Böylece istenilen terim $\bigl \langle 1, 2 , 1, 0, 3 \bigr \rangle $ bulunur.