2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11

[matematikolimpiyati]

$1,2,3,...,50$  sayıları içinde  $x^{14}-3 \equiv 0 \pmod{13}$  denkliğini sağlayan kaç sayı bulunur?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ 11$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed {B}$

$x^{13}≡x$ ve $x^{14}≡x^2$ olduğunu biliyoruz. Yani $x^2≡3\pmod{13}$ denkliğini çözmeliyiz. $\pmod{13}$ için $4$ ve $9$ bu koşulu sağlar. $13$'ün ardışık katları arasında bu tarz $2$ sayı vardır. $13$'e kadar $2$, $26$'ya kadar $4$, $39$'a kadar $6$, $52$'ye kadar $8$ sayı elde edilir. $51$ ve $50$ koşulu sağlamadığından durum değişmez.