2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10

[matematikolimpiyati]

$a$ ve $b$ pozitif sayılar olmak üzere$,$

$a_1=\dfrac{1}{a}\ ,\ a_2=a_1+1\ ,\ a_3=a_1a_2+1\ , \ ... ,\ a_{100}=a_1a_2...a_{99}+1$   ve   $a_1a_2...a_{99}a_{100} = \dfrac{1}{b}$  ise

                     $A=\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_{100}}$

toplamının $a$ ve $b$ cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ a+b  \qquad\textbf{b)}\ 2a+b  \qquad\textbf{c)}\ 2a-b  \qquad\textbf{d)}\ a-b  \qquad\textbf{e)}\ a-2b$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed {C}$

Soruya göre $a_x=a_{x-1}a_{x-2}\cdots a_1+1$ yazılabilir. Her tarafı $a_xa_{x-1}\cdots a_1$'e bölerek $\frac{1}{a_{x-1}a_{x-2}\cdots a_1}-\frac{1}{a_{x}a_{x-1}\cdots a_1}=\frac{1}{a_x}$ yazılabilir. $x=2$'den $100$'e kadar teleskopik toplam sonucunda $\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_{100}}=\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_1a_2\cdots a_{100}}=a-b$ bulunur. Her tarafa $\frac{1}{a_1}=a$ eklenirse yanıt $2a-b$ bulunur.