2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 08

[matematikolimpiyati]

$p \neq 0$  olmak üzere$,\ a,b$ ve $c$ sayıları $x^3+px+1=0$ denkleminin kökleri olsunlar.

                             $A=\dfrac{a-2}{a+1} + \dfrac{b-2}{b+1} + \dfrac{c-2}{c+1}$

ise $A$' nın $p$ cinsinden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ -\dfrac{9}{p}  \qquad\textbf{b)}\ -\dfrac{3}{p}  \qquad\textbf{c)}\ -\dfrac{12}{p}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{3}{p}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{9}{p}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

İfadeyi düzenlersek, $$\frac{3-A}{3}=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{(ab+ac+bc)+2(a+b+c)+3}{abc+(ab+ac+bc)+(a+b+c)+1}$$ olacaktır. Vieta formüllerinden $a+b+c=0$; $ab+ac+bc=p$ ve $abc=-1$'dir. Yerine yazarsak $$\frac{3-A}{3}=\frac{p+3}{p}\implies A=-\frac{9}{p}$$ elde edilir.