2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 07

[matematikolimpiyati]

Şekilde $|AB|=13,\ |DC|=17,\ |AE|=3|ED|$  ve  $|BF|=3|FC|$ olduğuna göre$,\ |EF|$ uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed {C}$

$F$'den geçip $DC$'ye paralel olan doğrunun $DB$ ile kesişimi $T$ olsun. $\frac{|DT|}{|DB|}=\frac{1}{4}$ olduğundan $ET||AB$'dır. Benzerliklerden $|TF|=\frac{51}{4}$ ve $|TE|=\frac{13}{4}$ olduğu kolayca görülür. $ETF$ üçgeninde üçgen eşitsizliğinden $\frac{19}{2}<x<16$ bulunur. Bu aralıkta $10,11,\cdots,15$ tamsayıları bulunur ve bunların sayısı $6$'dır.