2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 05

[matematikolimpiyati]

Ahsen$,$ hesap makinesinde yazdığı bir sayı$,\ 2$'den küçük olana kadar $\sqrt{\quad }$(karekök) tuşuna basıyor. Ahsen$,$ bu işlemi$,\ 1$ ile $2010$ $(1$ ve $2010$ dahil$)$ arasındaki sayıların kaçında tuşa çift sayıda basarak yapar?

$\textbf{a)}\ 1765  \qquad\textbf{b)}\ 1766  \qquad\textbf{c)}\ 1767  \qquad\textbf{d)}\ 1768  \qquad\textbf{e)}\ 1769$ 

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Bir sayıya $n$ sayısına $k$ defa karekök işlemi uygularsak, $n^{2^{-k}}$ sayısı elde edilir. $n=1$ durumunu ayrı incelemeliyiz, sıfır sayıda tuşa bastığımızdan onu da kabul etmeliyiz. $n\geq 2$ için $2k$ işlemde $2$'den küçük ama $2k-1$ işlemde $2$'den büyük sayı elde etmek istiyoruz. $$n^{2^{-{2k}}}<2\quad\text{ve}\quad n^{2^{-{2k-1}}}\geq 2$$ veya denk olarak $2^{2^{2k-1}}\leq n<2^{2^{2k}}$ olmasını istiyoruz. Yani $k\geq 3$ için aralık $[1,2010]$'u aştığı için $k=1,2$ olabilir. Yani $$2^2\leq n<2^4\quad\text{veya}\quad 2^{8}\leq n<2^{16}$$ olmalıdır. $n\leq 2010$ olduğunu da eklersek, bu aralıklardan sırasıyla $12$ ve $1755$ sayı vardır. Toplamda istenilen şartı sağlayan $1767$ sayı vardır.