2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04

[matematikolimpiyati]

$50^{20}$ sayısının farklı pozitif bölenlerinin çarpımının sonunda kaç tane $0$ vardır?

$\textbf{a)}\ 17200  \qquad\textbf{b)}\ 17220  \qquad\textbf{c)}\ 8600  \qquad\textbf{d)}\ 8630  \qquad\textbf{e)}\ 8610$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$n$ sayının pozitif bölenlerinin sayısına $v(n)$ ve pozitif bölenlerinin çarpımı $\tau(n)$ dersek, $\tau^2(n)=n^{v(n)}$ eşitliği vardır. $n=50^{20}=2^{20}\cdot 5^{40}$ olduğundan $v(n)=21\cdot 41$'dir. Buradan $$\tau(n)=50^{10\cdot 21\cdot 41}=5^{8610}\cdot 10^{8610}$$ olduğundan sondan $8610$ basamak $0$'dır.