2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 03

[matematikolimpiyati]

En fazla $5,6,7$  ve $13$ kalem alabilen $4$ kalemliğe $24$ özdeş kalem kaç değişik şekilde dağıtılabilir?

$\textbf{a)}\ 114  \qquad\textbf{b)}\ 115  \qquad\textbf{c)}\ 117  \qquad\textbf{d)}\ 118  \qquad\textbf{e)}\ 120$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Toplamda $31$ kalem için yer vardır. Yani $7$ tane olmayan kalemin/boşluğun hangi kalemliklerde olacağını dağıtmamız yeterlidir. Hiçbir sınır olmadan bu $7$ boşluk $\dbinom{7+4-1}{4-1}=\dbinom{10}{3}$ şekilde dağıtılır ancak $5$ kalem alabilen ve $6$ kalem alabilene sınırından fazla boşluk koymuş olabiliriz. Bu durumları çıkartmalıyız.

$6$'lık kalemliğe $7$ boşluk koyduğumuz $1$ durum vardır.

$5$'lik kalemliğe $7$ boşluk koyduğumuz $1$; $6$ boşluk koyduğumuz $3$ durum vardır. Yani tüm durum $\dbinom{10}{3}-5=115$'dir.