2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 02

[matematikolimpiyati]

$20!$ sayısının sonundaki tüm sıfırlar atılırsa$,$ son rakam ne olur?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Öncelikle $20!$ sonunda kaç sıfır olduğuna bakalım. $5,10,15,20$ çarpanlarından dolayı son $4$ basamak $0$'dır. Bu yüzden bize $\frac{20!}{10^4}$'ün $10$ bölümünden kalan gerecektir. Çin kalan teoreminden, $5$ ve $2$'ye bakmalıyız. $2\mid \frac{20!}{10^4}$'dir. $1,2,\dots,20$ sayılarının $5$'e bölümünden kalana bakalım, $$\frac{20!}{10^4}\equiv \frac{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)^5}{2^4}\equiv 4\pmod{5}$$ olduğundan $\frac{20!}{10^4}\equiv 4\pmod{10}$ bulunur.