2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 01

[matematikolimpiyati]

$3 \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{xy} \right) =1$  denkleminin pozitif tam sayılarda kaç $(x,y)$ çözüm ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 8  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Payda eşitlersek, $$3(x+y-1)=xy\implies xy-3x-3y+9=(x-3)(y-3)=6$$ bulunur. Buradan $(x-3,y-3)=(1,6),(2,3)$ ve simetrikleri elde edilir. Negatif durumlarda pozitif tamsayı çözüm bulamayız. $$(x,y)=(4,9),(9,4),(5,6),(6,5)$$ şeklinde $4$ çözüm vardır.