2009 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20

[matematikolimpiyati]

$\sqrt{7x-8} + \sqrt[3]{9-7x} =1$  denkleminin reel çözümlerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{30}{7}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{31}{7}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{32}{7}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{33}{7}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{34}{7}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Öncelikle karekökün tanımlı olması için $x\geq \frac{8}{7}$ olmalıdır. $y\geq 0$ için $y^2=7x-8$ dönüşümü yaparsak da denklem $$y+\sqrt[3]{1-y^2}=1\implies \sqrt[3]{1-y^2}=1-y$$ olacaktır. Her tarafın küpünü alırsak, $$1-y^2=(1-y)^3\implies (y-1)^3-(y-1)(y+1)=y(y-1)(y-3)=0$$ elde edilir. Dolayısıyla $y=0,1,3$ olabilir. Yerine koyarsak, her değer için çözüm gelecektir. Bunlara karşılık gelen $x$'ler $\frac{8}{7},\frac{9}{7},\frac{17}{7}$'dir. Toplamları da $$\frac{8}{7}+\frac{9}{7}+\frac{17}{7}=\frac{34}{7}$$ bulunur.