2009 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 19

[matematikolimpiyati]

$1$'den $9$'a kadar rakamların her birinin tam bir kez bulunduğu tüm dokuz basamaklı sayıları düşünelim. $1,2,3,4,5,6$ rakamlarının artan sırada bulunup da $1,2,3,4,5,6,7$ rakamlarının artan sırada bulunmadığı sayılara iyi sayılar diyelim. Örneğin$,\ 8\ \underline{1}\ 7\ \underline{2}\ \underline{3}\ \underline{4}\ 9\ \underline{5}\ \underline{6}$  ve  $9\ 7\ \underline{1}\ \underline{2}\ \underline{3}\ 8\ \underline{4}\ \underline{5}\ \underline{6}$ sayıları birer iyi sayıdır. Kaç tane iyi sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 372  \qquad\textbf{b)}\ 396  \qquad\textbf{c)}\ 414  \qquad\textbf{d)}\ 432  \qquad\textbf{e)}\ 456$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Sayıları yan yana olan $9$ boşluğa yerleştirmeye çalışalım. $1,2,3,4,5,6$'nın artan sırada bulunduğu dizilerin sayısını bulmak için $9$ boşluktan $6$'sını seçip, sayıları artan sırada yerleştirmeliyiz. Kalan yerlere de $7,8,9$'u yerleştiririz. Yani $1,2,3,4,5,6$'nın artan sırada olduğu $\dbinom{9}{6}\cdot 3!$ kadar dizilim vardır. Benzer şekilde $1,2,3,4,5,6,7$'nin artan olduğu $\dbinom{9}{7}\cdot 2!$ dizilim vardır. $1$'den $7$'ye kadar artan sırada olan her dizide $1,2,3,4,5,6$ da artan sırada olduğundan iyi sayıların sayısı $$\dbinom{9}{6}\cdot 3!-\dbinom{9}{7}\cdot 2!=432$$ bulunur.