2009 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18

[matematikolimpiyati]

$4x^4-20x^3+17x^2+22x-2=0$ denkleminin köklerinden ikisinin çarpımı $-2$ ise bu iki kökün kareler toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 7  \qquad\textbf{d)}\ 8  \qquad\textbf{e)}\ 10$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Polinomun kökleri $a,b,c,d$ ve $ab=-2$ olsun. Vieta formüllerinden, $$abcd=-\frac{1}{2}\implies cd=\frac{1}{4}$$ $$(a+b)+(c+d)=5$$ $$abc+abd+acd+bcd=ab(c+d)+cd(a+b)=-2(c+d)+\frac{1}{4}(a+b)=-\frac{11}{2}$$ $a+b=m$ ve $c+d=n$ dersek $$m+n=5$$ $$m-8n=-22$$ lineer denklem sistemini elde ederiz. Bu sistemi çözersek de $(m,n)=(2,3)$ elde ederiz. $$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=2^2-2(-2)=8$$ bulunur.

[Eray]

Cevap: $\boxed D$

Verilen $4.$ derece polinomu iki tane $2.$ derece polinomun çarpımı olarak yazmaya çalışalım. Zira köklerden ikisinin çarpımının $-2$ olduğu şeklinde verilen bilgide kastedilen bu iki $2.$ derece polinomdan biri olabilir.

$2.$ derece polinomlardan birinin kökler çarpımının $-2$ olması, ana polinomun başkatsayısı olan $4$ ve sabit terimi olan $-2$ nin çarpanları da göz önünde bulundurulursa, ancak $x^2 + ax - 2$ formunda bir çarpan ile mümkün olabilir. Bu durumda başkatsayı ve sabit terime bakarak diğer çarpanın $4x^2 + bx + 1$ formunda olacağını söyleyebiliriz.

$(x^2 + ax - 2)(4x^2 + bx + 1)$ çarpımında $x^3$ teriminin katsayısı $4a+b$, $x$ teriminin katsayısı ise $a-2b$ olacaktır. O halde $4x^4-20x^3+17x^2+22x-2$ polinomundaki katsayıları elde edebilmemiz için $a$ ve $b$ sayıları
$$\begin{cases}
4a+b = -20\\
a-2b = 22
\end{cases}$$
denklem sistemini sağlamalıdır. Bu denklem sisteminin çözümü $(a,b) = (-2,-12)$ olduğundan, ana polinomun çarpanlara ayrılışı $$4x^4-20x^3+17x^2+22x-2 = (x^2 - 2x - 2)(4x^2 - 12x + 1)$$ olsa gerektir. Evet, bu özdeşlik doğrudur. O halde bahsedilen iki kök, ilk çarpandan gelen $x^2 - 2x - 2 = 0$ denkleminin kökleridir. Bu iki köke $x_1,x_2$ dersek kareleri toplamını
$\begin{align}
x_1^2 + x_2^2 &= (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\\
&= 2^2 - 2(-2)\\
&= \boxed8
\end{align}$
olarak elde ederiz.